【转载】分形理论

badapple

原来番茄发的的帖子，通过google cache找回，选精华部分重新发布～～～

一楼：by 番茄

分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德勃罗(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时,在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片,看上去会十分相似。事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(fractal)。1975年,他创立了分形几何学(fractalgeometry)。在此基础上,形成了研究分形性质及其应用的科学,称为分形理论(fractaltheory)。

自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性,即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发,也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同,也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如科契(Koch)雪花曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。这种有规分形只是少数,绝大部分分形是统计意义上的无规分形。

分维,作为分形的定量表征和基本参数,是分形理论的又一重要原则。分维,又称分形维或分数维,通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维,直线为一维,平面为二维,空间为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑,可建立高维空间,但都是整数维。在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。然而,这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数:从很远的距离观察这个绳球,可看作一点(零维);从较近的距离观察,它充满了一个球形空间(三维);再近一些,就看到了绳子(一维);再向微观深入,绳子又变成了三维的柱,三维的柱又可分解成一维的纤维。那么,介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?

显然,并没有绳球从三维对象变成一维对象的确切界限。数学家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了连续空间的概念,也就是空间维数是可以连续变化的,它可以是整数也可以是分数,称为豪斯道夫维数。记作Df,一般的表达式为:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取对数并整理得Df=lnK/lnL,其中L为某客体沿其每个独立方向皆扩大的倍数,K为得到的新客体是原客体的倍数。显然,Df在一般情况下是一个分数。因此,曼德布罗特也把分形定义为豪斯道夫维数大于或等于拓扑维数的集合。英国的海岸线为什么测不准?因为欧氏一维测度与海岸线的维数不一致。根据曼德布罗特的计算,英国海岸线的维数为1.26。有了分维,海岸线的长度就确定了。

分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支,又是一门新兴的横断学科。作为一种方法论和认识论,其启示是多方面的:一是分形整体与局部形态的相似,启发人们通过认识部分来认识整体,从有限中认识无限;二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序;三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。

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分形理论及其发展历程


被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下。过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。

1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。

1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。

1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。

1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。



二



1960年，曼德尔布罗特在研究棉价变化的长期性态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时，发现误差传输与无误差传输在时间上按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中，发现类似规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出。他认为，欧氏测度不能刻划这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻划这类集合。

1975年，曼德尔布罗特用法文出版了分形几何第一部著作《分形：形状、机遇和维数》。1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德尔布罗特关于分形几何的主要思想，它将分形定义为豪斯道夫维数严格大于其拓朴维数的集合，总结了根据自相似性计算实验维数的方法，由于相似维数只对严格自相似这一小类集有意义，豪斯道夫维数虽然广泛，但在很多情形下难以用计算方法求得，因此分形几何的应用受到局限。

1982年，曼德尔布罗特的新著《自然界的分形几何》出版，将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集，重新讨论盒维数，它比豪斯道夫维数容易计算，但是稠密可列集盒维数与集所在空间维数相等。为避免这一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充维数，

1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普罗克西娅（I.Procaccia）提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。

1985年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。1982年德金（F.M.Dekking）研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难。德金获得维数上界。1989年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。

随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，1982年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。

自然界中的分形，与概率统计、随机过程关系密切。确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型。1988年，柴叶斯（j.T.Chayes）给出了详细的数学分析。1984年，扎乐（U.Zahle）通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。





三



动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年，气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。

1976年，法国天文学家伊侬（M.Henon）考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔（H.A.Lauwerier）将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。1985年，迈克多纳（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：

（1） 局部不连通的分形集；

（2） 局部连通的分形拟圆周；

（3） 既不局部连能又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性。

动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚（G.Julia）和法图（P.Fatou）于1918-1919年间开创这一研究。他们发现，解析映射的迭代把复平面划分成两部分，一部分为法图集，另一部分为朱利亚集（J集）。他们在处理这一问题时还没有计算机，完全依赖于他们自身固有的想象力，因此他们的智力成就受到局限。随后50年间，这方面的研究没有得到什么进展。

随着可用机算机来做实验，这一研究课题才又获得生机。1980年，曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集（M集）的第一张图来。1982道迪（A.Douady）构造了含参二次复映射fc，其朱利亚集J（fc）随参数C的变化呈现各种各样的分形图象，著名的有道迪免子，圣马科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集与映射系数的关系，解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫维数的数值解法。1983年，韦当（M.Widom）进一步推广了部分结果。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）证明指数映射的J集为复平面，解决了法图提出的问题，引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异，1984年德万尼（R.L.Devanney）证明指数映射Eλ的J（Eλ）集是康托束或复平面而J（fc）是康托尘或连通集。

复平面上使J（fc）成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）认为，M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在这方面进行的基础性研究工作，在解决这一难题方面已取得重大进展，使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的，人们猜测M集是局部连通的，目前每一张计算机图形都证实了这一猜测，但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通，目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。

M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外，还起着无穷个J集的图解目录表作用，即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定，谭磊（TanLei）1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实，研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。

巴斯莱（B.M.Barnsley）和德门科（S.Demko）1985年引入迭代函数系统，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集，用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统，得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下，可以产生著名的分形曲线——双生龙曲线。1986年水谷（M.Mitzutani）等对其动力系统进行了研究。

一般动力系统中的分形集，其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集，贝德浮德（T.Bedford）等在1986年已给出卓有成效的算法，但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集，这些结果都难以应用，其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰（j.L.Kaplan）和约克（J.A.York）1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨（L.S.Young）1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构，其反问题是由吸引子维数推断混沌力学，这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外，含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。

多重分形（multifractals）是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔（T.Bohr）等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年，阿内多（A.Arneodo）等人将子波变换用于多重分形研究。费德（J.Feder）、特尔（T.Tel）等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李（J.Lee）等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年，伯克（C.Beck）得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克（Z.Kov.acs）等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。


四


分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是应用分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。

在哲学方面，人们的兴趣在于自相似性的普适性，M集和J集表现出的简单性与复杂性，复数与实数的统一性，多重分形相变与突变论的关系，自组织临界（SOC）现象的刻画以及分形体系内部的各种矛盾的转化等。可以预言，一场关于分形科学哲学问题的讨论即将在国内展开。

badapple

三楼 by Jessiey

我来跟番茄姐凑个热闹~
数学史课上我在班里讲过一次分形，如下是类似讲义的东西，相对比较浅显些，充分展示了我的伪学术= =。

虽然我的数学一直没有学的很好，哪怕是在上了大学以它作为专业之后。但是，我却一直是很喜欢数学的，这可能有点矛盾。数学的确很美，然而令人遗憾的是，很多时候，我们必须经过长时间系统的学习，无数艰苦的钻研，才能体会到数学背后那些极致。
我觉得分形理论是这样一种东西，即使是一个完全不懂数学的人，在分形图形、分形音乐的刺激下也可以获得对数学之美最基本的感知，进而他可能会因这些美而对数学产生兴趣，然后在系统的学习中感受到更多的数学之美。

希望大家都能了解和感受到分形的美妙~~

因为我也没有正式学习过分形理论，文中若有什么不完全准确的地方，还请各位不吝赐教~~

一个分形的人，

穿过分形的森林，

走过分形的一英里，

分形地捡到了一枚分形的六便士。

买了一只分形的猫，

抓了一只分形的老鼠。

分形的人，

分形的猫，

分形的老鼠，

都挤在分形的小屋里。

分形人分形的大脑皮层里，

构思着分形猫分形地吞下分形老鼠，

分形老鼠被分形猫分形的小肠壁分形地吸收着……

这首小诗从一首英国儿歌改编而来，乍看上去像外婆的唠叨一样重复，但是它恰恰说明了分形应用的普遍性。大到宇宙中的星系分布、大陆的海岸线形状，小到我们的大脑皮层皱褶、血液微循环管道，分形抓住了一系列自然形式的本质。

一、分形的建立：海岸线是无限长？世界不是几何体

英国的海岸线有多长？

当我们用直尺来测量某一段长度时，对两点间小于直尺长度的曲线段，只能用直线段来近似。这样，使用越小的直尺时测得的长度就会越大。也就是说，海岸线的长度取决于所使用的直尺长短。那么，假如直尺的长度可以无限缩小，我们会得出一个结论：海岸线的长度是无限的！

这个由芒德勃罗在二十世纪七十年代提出的问题，对传统的欧几里德几何是一个巨大的挑战。欧式几何总是“冷酷无情”地把我们充满魅力的大自然转化成一个个生硬的几何体，可山峰其实不是锥体，树皮其实不是光滑的，闪电更不是按直线传播的。相比起那些具有特征长度的几何物体，自然界的图样是如此的不规则和支离破碎，它们在不同标度下的数目，在所有情况下都是无限的。于是，作为对这个挑战的回答，一种新的几何学——分形几何学诞生了。

1975年，芒德勃罗出版了法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，在书中，他由拉丁语fractus（碎石），创造了一个词汇——fractal，也就是分形。芒德勃罗这样描述他所创造的词：分形是一类几何外形，它与欧几里德外形相反，是没有规则的。首先，它们处处无规则可言。其次，它们在各种尺度上都有同样程度的不规则性。不论从远处观察，还是从近处观察，分形看起来都是一个模样——它是自相似的。整体中的小块，从远处看是不成形的小点，近处看则发现它变得轮廓分明，其外形大致和以前观察的整体形状相似。

用严格规整的数学语言去定义分形是一件很复杂的事情，但是我们可以从上面这段话以及分形的基本性质来初步了解它。分形可以看作具有如下性质的集合F：
（1）F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。
（2）F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。
（3）F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。
（4）F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓扑维数。
（5）F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。

二、前分形时代：曲线也会有面积？反例展开新天地

什么是曲线？

按照我们一般的理解，曲线最直观和通俗的表示应该是一条只有长度，没有宽度的“线”。但有一类曲线，它们能够充满平面，也就是说，这样的曲线是有面积的！皮亚诺曲线就是一个典型的例子，它在1890年由意大利数学家皮亚诺首次构造出来，这条曲线能够通过正方形内的所有点。次年希尔伯特也构造了一种曲线，它比皮亚诺的曲线简单，但性质是相同的。

我们来看希尔伯特曲线。从数学的角度来看，它的实质是在线段与整个正方形之间建立了一个连续映射，把单位正方形记作Q，单位线段记作[0, 1]，就是要找到一个如下形式的连续映射：f：(0,1)→Q,
     
为了建立这个映射，我们首先将正方形四等分成小正方形，顺次连接小正方形的中心，形成一条“中位曲线”（见上左图）。第二步将原正方形十六等分，按上右图
所示顺序再次画出中位曲线。第三步同前两步，将原正方形六十四等分，继续画出中位曲线。依次类推，每一次都将原正方形（4*n）等分，画出中位曲线。当n趋于无穷时，正方形中的中位曲线就充满了整个正方形。容易证明，第一步中[0,1]被分成了四段，分别位于四个小正方形内。设[0,1]对应于四个小正方形的部分分别为[0,1/4]，[1/4,1/2]，[1/2,3/4]和[3/4,1]，我们把这个映射叫做f1(t)，其中t属于[0,1]。同理，在第二步可以得到f2(t)，它把[0,1]分为16段，对应16个小正方形。依次作下去，得到一个映射序列f1(t),f2(t),f3(t),……fn(t)，这个序列在n趋近于无穷大时的极限就是所求的连续映射。

很长一段时间内，这种例子被作为数学分析、拓扑学中的反例来讲授，从希尔伯特曲线的构造过程中可以看出来，它是连续的，但是处处不可微。与此类似的还有瑞典数学家柯赫（H. von Koch, 1870-1924）构造出的柯赫雪花曲线以及波兰数学家谢尔宾斯基构造的谢尔宾斯基地毯。课堂上老师会告诉学生，曲线不像你们想象的那样简单，然后举出这些奇奇怪怪的东西，然后再放心地说通常不会遇到这些怪物。在过去确实是这样，可现在不同了，这些反例成为了分形几何学这片新天地的主角。

三、分形的特征：1.26维的物体？部分相似于整体

你能想象一个具有1.2618维的物体吗？

我们生活的这个世界是三维的，它同时具有宽度、高度和深度三个特征长度。这里的维数严格来讲叫拓扑维数，表示描述一个对象所需的独立变量的个数。在平面内确定一个点需要两个坐标，直线只需要一个，而点一个都不需要。所以平面是二维的，直线是一维的，点是零维的。但是对于从度量角度理解的维数来说，事情就没那么简单了。与前面那个海岸线的例子类似，从度量的角度来看，维数是可变的。

很容易解释，一条直线段，如果用一个点来量它，结果是无穷大，因为线段中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，结果又是0，因为线段中不包含平面。这样看来，想使度量的结果为确定值，就要用与它有相同维数的尺度。直线段是一维的，介于0和2之间。

那么我们看这样一个例子：在前一部分中曾经提到的柯赫雪花曲线。它的生成过程如图3所示：首先作一条直线段，然后把线段的中央向外折起，使它形成一个等边三角形。第二步再把每一条小线段的中央向外折起，形成更多的等边三角形。无限重复此操作，得到的极限图形就是柯赫曲线。
  
如果用一维的小线段测量柯赫曲线，结果为无穷大，因为它是由无穷多个小线段组成的。但是如果用二维的平面来测量，显然柯赫曲线不包含平面，结果是0。也就是说，柯赫曲线的维数介于1和2之间，是一个分维。现在我们给出分数维的概念：对于某个可以分为k个与整体相似单元（相似比为r）的对象，k等于r的D次方成立，那么D就是该对象的维数。对等式两边求对数，可得D=ln(k)/ln(r),根据这个公式，可以求出柯赫雪花曲线的维数为ln4/ln3，约为1.2618。

事实上，分形的正式定义就是根据分维来判断的。除了分维，分形还有很多特征，比如自相似性，精细性等等，这些特征都是显而易见的。很大一部分分形，尤其是规则分形，都是从一个“原形”（initiator）开始，按照“生成元”(generator)的操作规则，不断“迭代”（iterations）得到的。

三、分形的应用：你能一夜发家吗？金钱也有分形性

你想过通过买股票一夜发家吗？

股票价格变动图上的起起落落，牵动着多少人的心。假若能从这变动中寻找到某种规律，那该是多好的事情啊，通过预测某只股票未来的价格，我们不就能一夜发家了吗？其实，从统计学观点解析股票价格的变动，的确能发现一些很有意思的东西。芒德勃罗曾经试图用分形理论来刻画股票的价格，并发现了两个法则。

（1）每个单位时间的股票价格的变动分布，服从于特性指数D～1.7的对称稳定分布。也就是说，如果把单位时间T内的股票价格变动x的分布密度记为P（x），则有一个等式成立。它表示股票价格变动的大小服从分形分布。
（2）单位时间无论取多大或多小，其分布也是相似的。适当的改变尺度，就可以成为同样的分布。分析一天的股票价格变动图与一年的股票价格变动图，变动情况很难加以区别，因为它们不同的只有时间尺度。

还有一个有意思的说法，金钱也是有分形性质的。对于一个小孩子或者是穷人，1元是个不太大的数目，但是100元已经是一笔巨款了。对于一个普通成年人，100元只是个一般的数字，但一万元就是比较大的一笔钱了。而对于一个富翁，一万元基本算不上什么，但一百万可能就很多了。对于一个国家的预算，一百万、一千万都是小数目。买卖股票时，有人以1000元为单位入市，而有人以10元为单位入市。这两种人只是交易的位数不同，买卖决断方式都是相同的。由于股票价格是由自相似变动的重合所决定，理所应当具有分形性质。

不过，芒德勃罗的这些法则，虽然看上去很诱人，经验证明它们也符合实际资料，但很遗憾，这终究只是统计法则，若你想用它推导出明天的股票价格，那是不可能的。事实上，调查股票价格变动图的功率谱，它与布朗运动相同，每天的变动与过去无关的摆动着。所以其实股票的交易价格只取决于每天的交易情况，与过去资料并没有太大关系。这就是买股票难的原因所在，想一夜发家，只能是美梦罢了。而且，由于金钱存在分形性，如果陷入股市很深的话，就可能会被金额的价值所迷惑，发觉的时候，不仅仅倾家荡产，还背上巨额债务了。

上面这个例子只是分形在经济学中的一个应用，它在数学、物理学、化学、生物学乃至、语言学、社会学等等众多领域，都闪耀着美丽而迷人的光辉。

四、分形艺术论：计算机是艺术家？数学艺术不分离

你会用计算机作图吗？

你说当然会，现在广为流行的软件photoshop，不正是把计算机的功能拓展到了平面设计领域。不，我所指的不是这样的创作。现在的计算机图形艺术分作两大流派：波普（popular）派与数学公式派。波普派就是像人们一般理解的那样，通过画笔、鼠标、扫描仪在屏幕上进行创作，在广告界和大众中间非常流行。但是，对于数学公式派，他们在进行造型、色彩和构图时运用的是数学公式，就如同画家能够感觉到空间纵深、颜色冷暖一样，他们能够看到数学公式的内在结构，以及这种结构配上色彩后所表现出的感情。

分形美术便是这样的一种艺术，它根据非线性科学原理，通过数值计算，生成某种同时具有审美情趣和科学内涵的图形、动画，并以某种方式向观众演示、播放、展览。简单来说，生成分形图形的核心是“迭代”。作图时，通过数学公式严格计算出图形每一点的坐标，再填充上颜色所形成的图案。

上图是荷兰的克里查罗的一幅十分典型的分形作品《霜》(Rime)。分形图形是抽象的，但人们看到这些图形总会想到点什么，像我们现实生活中目睹过的某种东西，觉得它并不陌生、并不遥远。抽象性和具体性的结合，便是分形艺术的一个显著特点。另外，把一张十六开幅面的分形图放大到足球场大小，仍然能观察到丰富的细节，放大到一座城市那么大，照样能看到层次和自相似性。这就是分形图所具有的无限层次。

分形艺术除了图形之外，还包含分形音乐。现在已经有很多运用迭代方法，通过MIDI系统创作出的电脑音乐。

我们常说数学是一种艺术，但是大部分情况下，它的艺术性只有经过长时间系统的数学学习才能体会得到。然而分形理论建立之后，通过分形图形，分形音乐这些途径，即使是几乎没有数学知识的人也能直观的感受到数学的美，这也是分形理论的一个意义所在了。

yihuaxu

呵呵，

我这里有本曼德布罗特写的《分形学》，谁有兴趣看么？

yao

分形作为一门艺术的确吸引人，但作为科学来指导生产总觉得有些牵强。