给各位老大闲时动动脑子 solubleglassxx

加肥猫

给各位老大闲时动动脑子 solubleglassxx 2003-12-01 17:35


初中数学
已知 a+1/b=b+1/c=c+1/a
求证 aabbcc=1



-------------------------------回复----------------------------


回复1: 三 式联合变换    老潘 2003-12-01 20:13

右侧全部变换为1；
左侧连乘；
得证。


回复2: lao_pan!    Tracyy 2003-12-02 00:19

你的解法计算好麻烦呀！虽然从理论上没有问题，但是很容易出错的！
偶总觉得应该有简单的算法，一时还没有想出来！
呵呵，中学的时候做了很多类似的题目！


回复3: 解答    老潘 2003-12-02 21:05

三式同乘abc，前2等式
a*abc+ac=b*abc+ab
同约去a，有
abc+c=b*bc+b
变换：
abc-b*bc=b-c
bc(a-b)=b-c ----1

另按其它等式有
ac(b-c)=b-a ----2

1,2连解得
bc(a-b)=(b-a)/ac
bc=-1/(ac)
则
abc*c=-1

同理
abc*a=-1
abc*b=-1
即
abc=-1
则
(abc)(abc)=1

得证#

这是我们家tiao的联解法。




回复4: 我一直想确认…    alma_lee 2003-12-03 19:14

是a+(1/b)=b+(1/c)=c+(1/a)
还是(a+1)/b=(b+1)/c=(c+1)/a



回复5: 是前者，题目没有问题，    Tracyy 2003-12-04 00:43

但是，按照laopan的推导，我觉得可以有以下结论：
从
abc*a=-1,
abc*b=-1,
abc*c=-1
开始：
将以上三个式子左右分别相乘，可以得到：
(abc)^4=-1
这样的话，两边开方，引入虚数：
得abc*abc=i
和求证不一样呀，看样子，这个题目有多个答案！


回复6: 小解一下    安猪 2003-12-05 01:51

由a+1/b=b+1/c得：a-b=1/c-1/b，即：
ab(1/b-1/a)=1/c-1/b ----(1)
同理可得：
bc(1/c-1/b)=1/a-1/c ----(2)
ca(1/a-1/c)=1/b-1/a ----(3)
三式相乘，移项，得：
(aabbcc-1)(1/b-1/a)(1/c-1/b)(1/a-1/c)=0
因此：
aabbcc=1 或者 a=b 或者 b=c 或者 c=a
将a=b代入已知条件a+1/b=b+1/c中可得b=c，即a=b=c（剩下两种情况也同理得到相同的结论）
因此题目给出的条件是不严密的，应加限制条件“a,b,c互不相等”，否则无法充分证明aabbcc=1的结论。
一个显然的解答是：
当a=b=c=2时，已知条件的等式仍成立，而此时aabbcc<>1


回复7: 感慨    阳光小麦 2003-12-16 12:45

这是初中数学题吗？？
现今的中国的教育已经进入了死胡同， 我不明白出这样的题有何意义。
怪题，偏题， 难题，甚至象这样不严谨的题漫天飞，一味为难学生。前写日子甚至高考都有不严谨的错题出现。
似乎这才是考量学生综合素质的标准。

悲哀


回复8: 9494    yumi_li 2003-12-16 12:47

这题也太难了。。。